Newsletter Artikel 28/2019

Dauersicherheit und zugeordnete Ausfallswahrscheinlichkeit

Bei einer Dauersicherheitsanalyse wird der Sicherheitsfaktor SF als Quotient der lokal ertragbaren Amplitude σ(lokale Dauerfestigkeit) und der lokal tatsächlich auftretenden Amplitude σA definiert: SF = σ/ σA 

Was bedeutet nun ein Sicherheitsfaktor von 1? Zunächst einmal, dass die ertragbare Amplitude vollständig ausgeschöpft wird. Zu einer weiteren (statistischen) Interpretation gelangt man unter Berücksichtigung der Überlebenswahrscheinlichkeit pü der Wöhler-Linie: in 100*pü% der Fälle kann die Belastung ertragen werden, in 100*(1-pü)% nicht. Mit der für die FKM-Richtlinie typischen Überlebenswahrscheinlichkeit von 97.5% bedeutet dies z.B., dass von 1000 Teilen 975 halten, 25 nicht.

In der realen Anwendung wird man allerdings deutlich höhere Überlebenswahrscheinlichkeiten fordern. Zur Berücksichtigung der gewünschten/geforderten Überlebenswahrscheinlichkeit kann in FEMFAT der statistische Einflussfaktor aktiviert werden.

Wie ist nun aber ein Knoten mit von 1 abweichender Sicherheit hinsichtlich Überlebenswahrscheinlichkeit zu bewerten?

Etwas Theorie:

Zur Beantwortung dieser Frage benötigen wir einige Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die im Folgenden kompakt zusammengefasst werden.

 

Nach Haibach berechnet sich die Ausfallswahrscheinlichkeit pA für logarithmisch normalverteilte Spannungsamplituden mit der Verteilungsfunktion Φ(u) der Standardnormalverteilung

gemäß

 

Üblicherweise erfolgt die Angabe der Streuung einer statistischen Größe im Maschinenbau über die sogenannte Streuspanne TS. Dabei ist die Streuspanne definiert als das Verhältnis der Bauteil-Dauerfestigkeit bei 10%iger Überlebenswahrscheinlichkeit und der Bauteil-Dauerfestigkeit bei 90%iger Überlebenswahrscheinlichkeit.

Die Streuspanne kann in FEMFAT bei den Knoteneigenschaften vorgegeben werden und entspricht standardmäßig dem von Haibach empfohlenen Wert von 1.26.

Für die Umrechnung auf andere Überlebenswahrscheinlichkeiten wird in FEMFAT der statistische Einflussfaktor fstat berechnet. Für die Skalierung der lokalen Dauerwechselfestigkeit

wird der Wert (1/fstat)verwendet.

Mit der Ausgangs-Überlebenswahrscheinlichkeit (der Proben-Wöhlerlinie) pü1, dem zugehörigen Dauerfestigkeitswert der Probe σD, Probe bzw. dem Dauerfestigkeitswert mit gewünschter

Überlebenswahrscheinlichkeit pü2 gilt mit den jeweiligen Quantilen uBauteil und uProbe:

 

Wie kann nun für beliebige Sicherheitsfaktoren ungleich 0 eine Ausfallswahrscheinlichkeit berechnet werden?

Ausgehend von der vorgegebenen Überlebenswahrscheinlichkeit pü1 gilt für den Sicherheitsfaktor

Gesucht ist nun jene Überlebenswahrscheinlichkeit pü2, für die gilt

 

Division von Gleichung (2) und (3) ergibt

Durch Auflösung dieser Gleichung nach u2 erhält man

Daraus ergibt sich nun unmittelbar mit Gleichung (1) die Ausfallswahrscheinlichkeit pA gemäß

 

Mit einer geeigneten Approximationsformel (z.B. Waissi und Rossin*) für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung kann dieses Integral und damit die lokale  Ausfallswahrscheinlichkeit auf komfortable Weise mit dem Results Manager berechnet werden.